Способ наименьших квадратов

 

Способ наименьших квадратов.

 

Сущность задачи уравнивания.

До сих пор в теории погрешностей мы, по сути, решали три задачи:

   1. Математическая обработка результатов многократных измерений (равноточных или неравноточных) одной величины с целью нахождения вероятнейшего значения этой величины и оценки ее точности.

   2. Оценка точности функций одной или нескольких независимо измеренных величин.

   3. Оценка точности по результатам двойных измерений.

Если бы при создании геодезических сетей выполнялись только необходимые измерения, проблема их математической обработки исчерпывалась решением этих задач. Однако на практике кроме необходимых выполняют также избыточные измерения, например, в треугольнике измеряют не два, а все три угла. Это дает возможность контролировать качество измерений, повышать надежность определяемых величин и производить надежную оценку их точности.

  Таким образом, на практике мы имеем дело не с простой совокупностью независимо измеренных величин, а с системой измеренных величин, связанных жесткими математическими условиями (например, сумма углов в треугольнике должна быть равна 180° и т.д.).

  Отсюда возникает потребность нахождения таких значений измеренных величин, которые бы полностью удовлетворяли математическим условиям данной системы. Достигается это введением соответствующих поправок.

Задача эта получила название: уравнивание геодезических измерений.

Задача уравнивания возникает тогда и только тогда, когда благодаря избыточным измерениям, между измеренными величинами возникают математические соотношения, которые необходимо удовлетворить.

 

Два подхода к решению задачи уравнивания.

Существует два подхода к решению задачи уравнивания. Рассмотрим их по существу.

   1. Возьмем треугольник, где измерены все три угла. Следовательно, имеет место уравнение

clip_image002,

где clip_image004- измеренные углы, clip_image006- поправки.

clip_image008

Рис. 1.1

Обозначив:

clip_image010,

где clip_image012- невязка в треугольнике, можем записать

clip_image014.  (1.1)

В (1.1) clip_image016 - неизвестные, а clip_image012[1]- свободный член.

  Мы получили одно уравнение с тремя неизвестными, которое имеет множество решений, т.е. система является неопределенной.

   2. Возьмем систему трех нивелирных ходов с одной узловой точкой. Неизвестной при этом будет высота узловой точки clip_image019.

 

 

clip_image025

 

 

 

 

                            clip_image033  (1.2)

где clip_image035- высоты исходных реперов, clip_image019[1]- высота узловой точки, clip_image038- измеренные превышения.

  Таким образом, мы имеем три уравнения с одним неизвестным Н. Следовательно, мы снова получили неопределенную систему.

  Подведя итог, можно сказать, что решение задачи уравнивания всегда приводит к неопределенной системе уравнений, которая не имеет единственного решения, т.е. не может быть решена по правилам алгебры.

  Где же выход?

  Решение предложили в начале ХІХ в. немецкий математик и геодезист Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и французский математик Андриен Мари Лежандр (1752-1833). Оно получило название способ наименьших квадратов.